Campo scalare

Graficare un campo scalare

Un primo problema quando si parla di campo riguarda come darne una pratica rappresentazione su di un foglio. Esistono diversi metodi di rappresentazione, per i campi scalari il più comune riguarda le curve di livello.

Queste si ottengono fissando la variabile temporale, e imponendo che la funzione sia uguale ad una certa costante, ad esempio, considerando la temperatura della nostra camera, possiamo escludere la dipendenza da $z$, e vedere come varia in $x$, $y$ per un fissato tempo $t^*$.

$T(x,y,t^*) = \text{cost}$

Per il teorema di Dini, se una delle derivate parziali di T è non nulla in un punto in cui rimane verificata questa uguaglianza, allora questa equazione è grafico di una curva nel piano $(x,y)$. Possiamo quindi pensare di disegnare tutte le curve con:

$T(x,y,t^*) = n \cdot c$

Dove $n \in \mathbb{N}$ e $c$ è una qualunque costante arbitraria. Questo metodo è molto diffuso nelle cartine altimetriche dove vengono rappresentate tutte le curve di livello delle varie altitudini del suolo, o nelle previsioni del tempo, dove vengono presentate le curve di livello della pressione atmosferica.

Gradiente di un campo scalare

Iniziamo a studiare un metodo per caratterizzare la rapidità con cui varia la grandezza di un campo nei vari punti dello spazio.

Per fare ciò immagino di spostarmi tra due punti $P_1$ e $P_2$, che distano tra loro di una quantità infinitesima $d\vec{l}.$

$d\vec{l} = (dx,dy,dz) = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}$

Dove abbiamo usato la notazione $(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$ come versori dello spazio euclideo tridimensionale.

Definizione (Gradiente)

Si definisce Gradiente di un campo $U$ la quantità:

$$\vec{ \text{grad} }U = \left(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}\right)$$

E si indica con il simbolo $\vec{\nabla}U$.

Se ora facciamo il prodotto scalare tra il gradiente di $U$ e lo spostamento $d\vec{l}$ otteniamo la seguente relazione:

$\vec{\nabla}U \cdot d\vec{l} = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy + \frac{\partial U}{\partial z}dz$

Che altri non è che il differenziale totale della funzione $U$. Abbiamo quindi ottenuto l’importante equivalenza che:

$\vec{\nabla}U \cdot d\vec{l} = dU$

Da questa relazione ottengo facilmente un’espressione che mi dice la pendenza della curva lungo una direzione particolare:

$\frac{dU}{|d\vec{l}|} = |\vec{\nabla}U|\cos \theta$

Da questa formula si ricavano alcune considerazioni importanti sulla natura geometrica del gradiente. Se scegliamo lo spostamento $d\vec{l}$ lungo una curva di livello sappiamo che la funzione non varia, quindi $dU = 0$. Ma quindi:

$\frac{dU}{|d\vec{l}|} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dU}{|d\vec{l}|} = |\vec{\nabla}U|\cos \theta = 0$

Poiché genericamente il modulo del gradiente sarà diverso da zero, è nullo il coseno di $\theta$. Questo ci dice che il gradiente è sempre rivolto ortogonalmente allo spostamento $d\vec{l}$ (infatti $\theta$ è l’angolo tra $d\vec{l}$ e $\vec{\nabla}U$).

Da questa stessa formula risulta che il gradiente è un vettore che indica la massima pendenza del campo, infatti la derivata direzionale ha un massimo quando $\theta$ è nullo, cioè ci spostiamo lungo la direzione del gradiente.