Campo vettoriale

Campi gradienti

Abbiamo appena definito l’operatore di gradiente, adesso proviamo ad applicare il gradiente ad ogni punto di un campo scalare. Otteniamo un altro campo, ma questa volta vettoriale, con la caratteristica di essere un campo gradiente. Questo particolare tipo di campo viene detto conservativo.

Definizione (Campo conservativo)

Un campo vettoriale si dice conservativo se, e solo se, è generato attraverso l’operatore gradiente da un qualsiasi campo scalare.

I campi conservativi hanno la notevole proprietà di avere circuitazione nulla, ovvero preso un qualunque percorso per cui mi muovo da un punto $P_1$ ad un punto $P_2$, e poi torno da $P_2$ a $P_1$, il lavoro fatto dal campo è nullo!

$\oint \vec{\nabla}U \cdot d\vec{l} = 0$

Questa proprietà si verifica immediatamente:

$\oint \vec{\nabla}U \cdot d\vec{l} = \oint dU = \int_{P_1}^{P_2} dU + \int_{P_2}^{P_1} dU = U(P_2) - U(P_1) + U(P_1) - U(P_2) = 0$

Rappresentazione dei campi vettoriali

Rappresentare i campi vettoriali è molto più complesso della rappresentazione dei campi scalari, un metodo molto efficiente per rappresentarli fu introdotto nell’ottocento dal grande fisico Faraday, a cui dobbiamo molti dei successi ottenuti dalla teoria dell’elettromagnetismo.

Per parlare di questa rappresentazione dobbiamo partire dal concetto di Flusso.

Definizione (Flusso)

Si definisce il Flusso di un campo $\vec{v}$ lungo la superficie $S$ il valore:

$\Phi_S(\vec{v}) = \int_S \vec{v} \cdot \hat{n} \, dS$

Dove il versore $\hat{n}$ è sempre il versore normale alla superficie, ed ha un diverso significato a seconda della superficie $S$ che consideriamo.

$S$ può essere infatti aperta o chiusa. Se $S$ è aperta, è dotata di bordo. Allora si stabilisce per convenzione che il verso di $\hat{n}$ sia quello che va verso l’osservatore del bordo che vede la percorrenza in senso antiorario; ossia stabilito un verso di percorrenza del bordo, $\hat{n}$ è quel vettore che è diretto verso un osservatore posto dal lato del bordo in cui il verso di percorrenza scelto risulta essere quello antiorario¹.

Se $S$ è una superficie chiusa, non è dotata di bordo, in questo caso si sceglie per convenzione il verso di $\hat{n}$ come quello uscente dalla superficie chiusa.

Torniamo alla rappresentazione di Faraday. Immaginiamo di prendere molte superfici e in ognuna di queste disegnamo un numero di frecce che indicano la direzione, modulo e verso del campo proporzionalmente al flusso del campo lungo quella superficie, otteniamo così un diagramma che ci permette di avere un’idea chiara del flusso, e mette in evidenza alcuni punti critici del flusso, come sorgenti positive (da cui le linee di flusso divergono) e le sorgenti negative (a cui le linee di flusso convergono).

Un metodo alternativo per rappresentare graficamente i campi vettoriali avviene attraverso il tracciato delle cosiddette linee di forza, che sono linee rispetto alle quali i vettori del campo sono sempre tangenti. Anche in questo modo è molto facile riconoscere le sorgenti positive e sorgenti negative.

Esiste una procedura operativa molto semplice che consente di capire se è presente in un punto una sorgente positiva.

Footnotes

1. Ricordiamo che se cambiamo il verso da cui si osservano le lancette dell’orologio, ci sembrerà che queste si muovano in senso antiorario anziché orario. ↩